Question

如图1，抛物线y=-

3

16

x²平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S_阴影；
（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：
①t为何值时△MAN为等腰三角形；
②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

Answer 1

考点：二次函数综合题,根的判别式,勾股定理的应用,相似三角形的应用

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）设平移后抛物线的解析式y=-

3

16

x²+bx，将点A（8，0）代入，根据待定系数法即可求得平移后抛物线的解析式，再根据割补法由三角形面积公式即可求解；
（2）作NQ垂直于x轴于点Q．
①分当MN=AN时，当AM=AN时，当MN=MA时，三种情况讨论可得△MAN为等腰三角形时t的值；
②方法一：作PN的中点E，连接EM，则EM=PE=

1

2

PN，当EM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小，此时t=3，PN取最小值为

15

2

．
方法二：由MN所在直线方程为y=

t

6

x-

t2

6

，与直线AB的解析式y=-

3

4

x+6联立，得x_N的最小值为6，此时t=3，PN取最小值为

15

2

．

解答：解：（1）设平移后抛物线的解析式y=-

3

16

x²+bx，
将点A（8，0）代入，
得y=-

3

16

x2+

3

2

x，
顶点B（4，3），
S_阴影=OC×CB=4×3=12．

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（8，0），B（4，3）代入得：
直线AB的解析式为y=-

3

4

x+6，
作NQ垂直于x轴于点Q，
①当MN=AN时，N点的横坐标为

8+t

2

，纵坐标为

24-3t

8

，
由△NQM和△MOP相似可知

NQ

OM

=

MQ

OP

，

24-3t 8

t

=

8-t 2

6

，
解得t₁=

9

2

，t₂=8（舍去）．
当AM=AN时，AN=8-t，
由△ANQ和△APO相似可知NQ=

3

5

（8-t），AQ=

4

5

（8-t），MQ=

8-t

5

，
由△NQM和△MOP相似可知

NQ

OM

=

MQ

OP

得：

3 5 (8-t)

t

=

8-t 5

6

，
解得：t=18（舍去）．
当MN=MA时，∠MNA=∠MAN＜45°，
故∠AMN是钝角，显然不成立，故t=

9

2

．
②方法一：作PN的中点E，连接EM，则EM=PE=

1

2

PN，
当EM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小，
此时t=3，证明如下：
假设t=3时M记为M₀，E记为E₀
若M不在M₀处，即M在M₀左侧或右侧，
若E在E₀左侧或者E在E₀处，则EM一定大于E₀M₀，而PE却小于PE₀，这与EM=PE矛盾，
故E在E₀右侧，则PE大于PE₀，相应PN也会增大，
故若M不在M₀处时PN大于M₀处的PN的值，
故当t=3时，MQ=3，NQ=

3

2

，
根据勾股定理可求出PM=3

5

与MN=

3

2

5

，PN=

15

2

．
故当t=3时，PN取最小值为

15

2

．
方法二：由MN所在直线方程为y=

t

6

x-

t2

6

，
与直线AB的解析式y=-

3

4

x+6联立，
得点N的横坐标为x_N=

72+2t2

9+2t

，
即t²-x_Nt+36-

9

2

x_N=0，
△=x²_N-4（36-

9

2

xN）=0，
得x_N=6或x_N=-24，
又因为0＜x_N＜8，
所以x_N的最小值为6，此时t=3，
当t=3时，N的坐标为（6，

3

2

），此时PN取最小值为

15

2

．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，平移的性质，割补法，三角形面积，分类思想，相似三角形的性质，勾股定理，根的判别式，综合性较强，有一定的难度．