Question

3．如图，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径，在正方形内作半圆O，过点A作半圆O的切线AE，切点为F，且与CD相交于点E，求DE：AE的值．

Answer 1

分析 设正方形ABCD的边长为4a，EC=x，根据切线长定理得到AF=AB=4a，EC=EF=x，在Rt△ADE中利用勾股定理可得到x与a的关系，从而可用a表示AE、DE，即可得到结论．

解答 解：设正方形ABCD的边长为4a，EC=x，
∵AF为半圆O的切线，
∴AF=AB=4a，EC=EF=x，
在Rt△ADE中，DE=4a-x，AE=4a+x，
∴AE²=AD²+DE²，即（4a+x）²=（4a）²+（4a-x）²，
解得x=a，
∴AE=5a，DE=3a，
∴DE：AE=3：5．

点评 本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．也考查了正方形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义．