Question

设a、b、c、d是四个整数，且使得m=(ab+cd)2-

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(a2+b2-c2-d2)2是一个非零整数，求证：|m|一定是个合数．

Answer 1

分析：先把m=(ab+cd)2-

1

4

(a2+b2-c2-d2)2进行因式分解，再由因式分解的结果及合数的定义进行解答．

解答：解：要证明|m|是合数，只要能证出|m|=p•q，p•q均为大于1的正整数即可．证明：m=(ab+cd)2-

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4

(a2+b2-c2-d2)
=[ab+cd+

1

2

(a2+b2-c2-d2)][ab+cd-

1

2

(a2+b2-c2-d2)
=

1

4

[2ab+2cd+a2+b2-c2-d2][2ab+2cd-a2-b2+c2+d2]
=

1

4

[(a+b)2-(c-d)2][(c+d)2-(a-b)2]
=

1

4

(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)
因为m是非零整数，则

1

4

(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)是非零整数．
由于四个数a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除，
所以四个数均为偶数．
所以可设a+b+c-d=2m₁，a+b-c+d=2m₂，a-b+c+d=2m₃，-a+b+c+d=2m₄，其中m₁，m₂，m₃，m₄均为非零整数．
所以m=

1

4

（2m₁）（2m₂）（2m₃）（2m₄）=4m₁m₂m₃m₄，
所以|m|=4|m₁m₂m₃m₄|≠0，
所以|m|是一个合数．

点评：本题考查的是质数与合数的定义、因式分解、奇数与偶数的定义、绝对值的性质，涉及面较广，难度较大．