Question

10．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠BCD的平分线交AD于点F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AE=5，BC-AB=3，求四边形AECF的周长．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义以及平行线的性质，证明∠BAE=∠AEB，证明AB=BE，然后证明CD=DF，即可证得AF=CE，证明四边形AECF是平行四边形；
（2）利用四边形的周长公式进行解答即可．

解答 （1）证明：如图，连接AC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∵AC平分∠BAC，FC平分∠BCD，
∴∠DAE=∠BAE，∠DCF=∠BCF．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，∠DFC=∠BCF．
∴∠BAE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，
∴AB=BE，DF=CD，
∴BE=DF．
∴AF=EC，又AD∥BC，即AF∥EC，
∴四边形AFCE是平行四边形．

（2）由（1）知，AB=BE，DF=CD．
∵BC-AB=3，
∴BC-BE=EC=3．
又∵AE=5，
∴四边形AECF的周长=2（AE+EC）=2×（5+3）=16．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行线的性质等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．