Question

3．如图，在正方形ABCD中，CD=$\sqrt{2}$，若在线段AD上方有一点P，满足PD=1，且∠BPD=90°，则点A到BP的距离为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 条件不足，无法计算

Answer 1

分析 以D为圆心1为半径作⊙D，过点B作⊙D的切线BP、BP′，连接BD，作AE⊥BP′于E，AF⊥BP于F．求出BE、AF即可解决问题．

解答 解：
以D为圆心1为半径作⊙D，过点B作⊙D的切线BP、BP′，连接BD，作AE⊥BP′于E，AF⊥BP于F．

∵四边形ABCD是正方形，CD=BC=AB=AD=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{2}$DC=2，∠ABC=90°，
在Rt△PBD中，∵∠BPD=90°，BD=2，DP=1，
∴∠PBD=30°，同理∠P′BD=30°，
∴∠ABE=∠CBP=15°，
在△ABE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AFB}\\{∠EAB=∠FBA=75°}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BAF，
∴∠ABE=∠OAB=15°，
∴∠AOE=∠FOB=30°，
∴AO=OB=2AE，设AE=a，则AO=OB=2a，EO=$\sqrt{3}$a，
∴EB=AF=2a+$\sqrt{3}$a，
∵AB²=AE²+BE²，
∴2=a²+（2a+$\sqrt{3}$a）²，
∴a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$（负根已经舍弃），
∴AE=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，AF=BE=2a+$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
∵点P在线段AD上方，
∴点A到BP的距离=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
∴故选A．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、圆等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会利用圆的切线的性质解决问题，属于中考压轴题．