Question

11．已知一个矩形的两条对角线夹角为60°，一条对角线长为10cm，则该矩形的周长为（　　）

• A． 10（1+$\sqrt{3}$）cm
• B． 20$\sqrt{3}$cm
• C． 20（1+$\sqrt{3}$）cm
• D． 20cm

Answer 1

分析 根据矩形的两条对角线的夹角为60°，可以判定△AOB为等边三角形，即可求得AB=AO，在直角△ABC中，已知AC，AB，根据勾股定理即可计算BC的长，进而计算矩形的周长即可解题．

解答 解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∵∠1=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=$\frac{1}{2}$AC=5cm，
在直角△ABC中，AC=10，AB=5，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=5$\sqrt{3}$cm，
故矩形的周长为2BC+2AB=10$\sqrt{3}$+10=10（1+$\sqrt{3}$）cm．
故选A．

点评 本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，等边三角形的判定，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算BC的长是解题的关键．