Question

15．如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=18，PB=24，PC=30．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为18，∠APB=150°．

Answer 1

分析 由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA=P′A，旋转角∠P′AP=∠BAC=60°，所以△APP′为等边三角形，即可求得PP′；再由△APP′为等边三角形，得∠APP′=60°，在△PP′B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB=90°，可求∠APB的度数．

解答 解：连接PP′，BP，
由题意可知BP′=PC=10，AP′=AP，
∠PAC=∠P′AB，而∠PAC+∠BAP=60°，
所以∠PAP′=60度．故△APP′为等边三角形，
所以PP′=AP=AP′=18；
∵PA=18，PB=24，PC=30．
∴PP′²+BP²=BP′²，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°
∴∠APB=90°+60°=150°．
故答案为：18，150°．

点评 本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理，注意：旋转图形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．