Question

2．如图，点A和点F，点B和点E分别是反比例函数y=$\frac{4}{x}$图象在第一象限和第三象限上的点，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，CD=6，且AF=FC，DE=BE，已知四边形ADCF的面积是四边形BCDE的面积的2倍，则OC的长为12-6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设点A的坐标为（m，$\frac{4}{m}$）（m＞0），点B的坐标为（n，$\frac{4}{n}$）（n＜0），则点E的坐标为（2n，$\frac{2}{n}$），点F的坐标为（2m，$\frac{2}{m}$），用含m、n的代数式表示出四边形ADCF和BCDE的面积，根据m-n=6结合面积间的关系可列出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出结论．

解答 解：设点A的坐标为（m，$\frac{4}{m}$）（m＞0），点B的坐标为（n，$\frac{4}{n}$）（n＜0），则点E的坐标为（2n，$\frac{2}{n}$），点F的坐标为（2m，$\frac{2}{m}$），
∴S_{四边形ADCF}=S_△ACD+S_△ACF=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{4}{m}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{m}$×m=$\frac{12}{m}$+2，S_{四边形BCDE}=S_△BCD+S_△BDE=$\frac{1}{2}$×6×（-$\frac{4}{n}$）+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{4}{n}$）×（-n）=-$\frac{12}{n}$+2，
∴$\frac{12}{m}$+2=-$\frac{24}{n}$+4，即6n+15m=mn①．
CD=m-n=6②．
联立①②成方程组，$\left\{\begin{array}{l}{6n+12m=mn}\\{m-n=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=12-6\sqrt{3}}\\{n=6-6\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=12+6\sqrt{3}}\\{n=6+6\sqrt{3}}\end{array}\right.$（舍去）．
故答案为：12-6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解二元二次方程组，根据两四边形面积间的关系以及m-n=6列出关于m、n的二元二次方程组是解题的关键．