Question

如图，在△ABC中，∠C=90°．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）
①作△ABC的角平分线AD交BC于点D．
②作△AED，使∠ADE=∠ADC，DE交AB于点E．
（2）证明与计算：
①△ACD≌△AED；
②若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）①根据角平分线的作法作图即可；
②根据作一个角等于已知角的作法作图即可；
（2）①根据角平分线的定义得到∠CAD=∠EAD，再根据ASA证明△ACD≌△AED；
②根据全等三角形的性质和角平分线的性质得到CD=1，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．

解答：解：（1）①如图所示：
②如图所示：
（2）证明：①∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD与△AED中，

∠CAD=∠EAD AD=AD ∠ADC=∠ADE

∴△ACD≌△AED（ASA）；
②由①得△ACD≌△AED，
∴∠AED=∠C，
∵∠C=90°，
∴∠AED=90°，
∴DE⊥AB．
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵CD=1，
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2．

点评：考查了作图-复杂作图，关键是掌握角平分线的作法，作一个角等于已知角．同时考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，含30°角的直角三角形的性质．