Question

如图，甲、乙两人分别从A（1，）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s=MN²，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

Answer 1

证明：（1）因为A坐标为（1，），
所以OA=2，∠AOB=60°．
因为OM=2-4t，ON=6-4t，
当=时，解得t=0，
即在甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行；

（2）因为甲达到O点时间为t=，乙达到O点的时间为t==，所以甲先到达O点，所以t=或t=时，O、M、N三点不能连接成三角形，
①当t≤时，如果△OMN∽△OBA，则有=，解得t=2＞，所以，△OMN不可能相似△OBA；
②当＜t≤时，∠MON＞∠AOB，显然△OMN不相似△OBA；
③当t＞时，=，解得t=2＞，所以当t=2时，△OMN∽△OBA；

（3）①当t≤时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△MOH中，因为∠AOB=60°，
所以MH=OMsin60°=（2-4t）×=（1-2t），
OH=0Mcos60°=（2-4t）×=1-2t，
所以NH=（6-4t）-（1-2t）=5-2t，
所以s=[（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28
②当＜t≤时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△MOH中，MH=（4t-2）=（2t-1），NH=（4t-2）+（6-4t）=5-2t，
所以s=[（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28
③当t＞时，同理可得s=[（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28，
综上所述，s=[（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28．
因为s=16t²-32t+28=16（t-1）²+12，
所以当t=1时，s有最小值为12，所以甲、乙两人距离最小值为2km．
分析：（1）用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明；
（2）根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答；
（3）在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题．
点评：此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的应用等知识点，难度较大．