Question

13．如图，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．
（1）求证：CF=CH；
（2）△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°，证明：四边形ACDM是菱形．

Answer 1

分析 （1）先根据直角三角形的性质得出∠1=∠2，再由AAS定理得出△CFA≌△CHD，进而可得出结论；
（2）根据∠BCE=45°得出∠1=∠2=45°．根据∠E=∠B=45°得出∠1=∠E，∠2=∠B，故可得出四边形ACDM是平行四边形，再由AC=CD即可得出结论．

解答 （1）证明：在△ACB和△ECD中，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB，
∴∠1=∠2；
又∵AC=CE=CB=CD，
∴∠A=∠D=45°；
在△CFA和△CHD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠A=∠D}\\{CA=CD}\end{array}\right.$，
∴△CFA≌△CHD（AAS），
∴CF=CH．

（2）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=45°，∠2=45°．
又∵∠E=∠B=45°，
∴∠1=∠E，∠2=∠B，
∴AC∥MD，CD∥AM，
∴四边形ACDM是平行四边形，
又∵AC=CD，
∴平行四边形ACDM是菱形．

点评 本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．