Question

6．如图，在锐角△ABC中，∠ACB=60°，点D为线段AB上的一点，△ACD的外接圆交BC于点M，△BCD的外接圆交AC于点N，则$\frac{CM}{CA}$+$\frac{CN}{CB}$=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 如图，连接BN、DM，延长DM交圆于F，连接BF、FN、FC，在CB上取一点P，使得CN=CP，连接PN．首先证明△BNF是等边三角形，再证明△BNP≌△FNC，推出BP=CF，推出BC=BP+PC=CF+CN，由△ACB∽△MCF，可得$\frac{CM}{AC}$=$\frac{CF}{BC}$，推出$\frac{CM}{CA}$+$\frac{CN}{CB}$=$\frac{CF}{BC}$+$\frac{CN}{BC}$=$\frac{CF+CN}{BC}$=$\frac{BC}{BC}$=1，即可解决问题．

解答 解：如图，连接BN、DM，延长DM交圆于F，连接BF、FN、FC，在CB上取一点P，使得CN=CP，连接PN．

∵∠BDM=∠ACB=60°，∠ADN=∠ACB=60°（圆内接四边形的外角等于内对角），
∴∠BNF=∠BDF=∠BCF=60°，∠BFN=∠ACB=60°，
∴△BNF是等边三角形，
∵CN=CP，∠NCP=60°，
∴△NCP是等边三角形，
∴NB=NF，NP=NC，∠BNF=∠PNC，
∴∠BNP=∠FNC，
∴△BNP≌△FNC，
∴BP=CF，
∴BC=BP+PC=CF+CN，
∵∠ABC=∠CFM，∠ACB=∠FCM，
∴△ACB∽△MCF，
∴$\frac{CM}{AC}$=$\frac{CF}{BC}$，
∴$\frac{CM}{CA}$+$\frac{CN}{CB}$=$\frac{CF}{BC}$+$\frac{CN}{BC}$=$\frac{CF+CN}{BC}$=$\frac{BC}{BC}$=1，
故选A．

点评 本题考查三角形的外接圆与外心、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压选择题中的压轴题．