Question

如图，抛物线y=a（x﹣m）²+2m﹣2（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m﹣1）．连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC．点C关于直线l的对称点为C′，连接PC′，即有PC′=PC．将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C与点C′重合，得到△PB′C′．

（1）该抛物线的解析式为　 　（用含m的式子表示）；

（2）求证：BC∥y轴；

（3）若点B′恰好落在线段BC′上，求此时m的值．

Answer 1

（1）解：∵A（0，m﹣1）在抛物线y=a（x﹣m）²+2m﹣2上，

∴a（0﹣m）²+2m﹣2=m﹣1．

∴a=．

∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）²+2m﹣2．

（2）证明：如图1，

设直线PA的解析式为y=kx+b，

∵点P（m，2m﹣2），点A（0，m﹣1）．

∴．

解得：．

∴直线PA的解析式是y=x+m﹣1．

当y=0时，x+m﹣1=0．

∵m＞1，

∴x=﹣m．

∴点B的横坐标是﹣m．

设直线OP的解析式为y=k′x，

∵点P的坐标为（m，2m﹣2），

∴k′m=2m﹣2．

∴k′=．

∴直线OP的解析式是y=x．

联立

解得：或．

∵点C在第三象限，且m＞1，

∴点C的横坐标是﹣m．

∴BC∥y轴．

（3）解：若点B′恰好落在线段BC′上，

设对称轴l与x轴的交点为D，连接CC′，如图2，

则有∠PB'C'+∠PB'B=180°．

∵△PB′C′是由△PBC绕点P逆时针旋转所得，

∴∠PBC=∠PB'C'，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′．

∴∠PBC+∠PB'B=180°．

∵BC∥AO，

∴∠ABC+∠BAO=180°．

∴∠PB'B=∠BAO．

∵PB=PB′，PC=PC′，

∴∠PB′B=∠PBB′=，

∴∠PCC′=∠PC′C=．

∴∠PB′B=∠PCC′．

∴∠BAO=∠PCC′．

∵点C关于直线l的对称点为C′，

∴CC′⊥l．

∵OD⊥l，

∴OD∥CC′．

∴∠POD=∠PCC′．

∴∠POD=∠BAO．

∵∠AOB=∠ODP=90°，∠POD=∠BAO，

∴△BAO∽△POD．

∴=．

∵BO=m，PD=2m﹣2，AO=m﹣1，OD=m，

∴=．

解得：

∴m₁=2+，m₂=2﹣．

经检验：m₁=2+，m₂=2﹣都是分式方程的解．

∵m＞1，

∴m=2+．

∴若点B′恰好落在线段BC′上，此时m的值为2+．