题目内容
4．用如图（1）两个直角三角形BC=EF=3，∠B=45°，∠E=30°，拼接如图（2），使得BC和ED重合，在BC边上有一动点P．（1）在图（2），当点P运动到∠CFB的平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
（2）在图（2），当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数
（3）当点P运动到什么位置时，以A、P、F、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边FC上？求出此时四边形
APFQ的面积．
分析 （1）如答图1所示，过点A作AG⊥BC于点G，构造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的长度；
（2）如答图2所示，符合条件的点P有两个．解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数；
（3）先判断出AP∥FQ，进而得出AP⊥BC，即可求出AP=BP=CP=$\frac{3}{2}$，最后用四边形的面积公式即可得出结论．
解答 解：（1）依题意画出图形，如答图1所示：
由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，
∴CF=BC•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴CP=CF•tan∠CFP=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=1．
过点A作AG⊥BC于点G，则AG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴PG=CG-CP=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$．
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP=$\sqrt{A{G}^{2}+P{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
（2）由（1）可知，FC=$\sqrt{3}$．
如答图2所示，以点A为圆心，以FC=$\sqrt{3}$长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=$\sqrt{3}$．
过点A过AG⊥BC于点G，则AG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$．
在Rt△AGP1中，cos∠P1AG=$\frac{AG}{A{P}_{1}}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴∠P1AG=30°，
∴∠P1AB=45°-30°=15°；
同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．
∴∠PAB的度数为15°或75°．
（3）如答图3，
∵以A、P、F、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边FC上，
∴AP∥QF，
∴∠APC=∠BCF，
∵∠BCF=90°，
∴∠APC=90°，
在R△ABC中，∠ABC=45°，BC=3，
∴AC=AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AP=BP=CP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴S平行四边形APFQ=AP×PC=$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$，
即：点P运动到BC中点的位置时，以A、P、F、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边FC上，且面积是$\frac{9}{4}$．
点评 此题是四边形综合题，主要考查了角平分线的意义，锐角三角函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是特殊直角三角形的性质的运用．
如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄，设行驶至点P时，离村庄M最近，汽车行驶到点Q时，离村庄N最近，汽车行驶到点O时，到村庄M、N的距离之和最小，请在图中公路AB上分别画出点P、Q、O的位置，并说明理由．| A． | -8、-10 | B． | -8、10 | C． | 8、-10 | D． | 8、10 |
| A． | $\sqrt{2-x}$ | B． | $\sqrt{x-2}$ | C． | -$\sqrt{2-x}$ | D． | -$\sqrt{x-2}$ |
如图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上，根据图中提供的信息，下列说法正确的有（ ）| A． | （-2$\sqrt{3}$）2=6 | B． | $\sqrt{1\frac{25}{49}}$=1$\frac{5}{7}$ | ||
| C． | $\sqrt{（-121）×（-9）}$=$\sqrt{121}$×$\sqrt{9}$=33 | D． | $\sqrt{（-4）^{2}}$=±4 |