Question

17．如图，AC、BD相交于点O，BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，且相交于点P．
（1）试探索∠P与∠A、∠D之间的数量关系；
（2）若∠A：∠D：∠P=2：4：x，求x的值．

Answer 1

分析 （1）运用三角形的外角等于两个不相邻的内角的和，可得∠A+∠ABF=∠P+∠PCF，∠D+∠DCP=∠P+∠DBP，再根据角平分线的定义和等式的性质可得∠A+∠D=2∠P，从而得出关系；
（2）代入（1）的关系式可求得x的值．

解答 解：（1）∵∠CFB=∠A+∠ABF，∠CFB=∠P+∠PCF（三角形的外角等于两个不相邻的内角的和），
∴∠A+∠ABF=∠P+∠PCF（等量代换），
同理：∠D+∠DCP=∠P+∠DBP，
∴∠A+∠ABF+∠D+∠DCP=2∠P+∠PCF+∠DBP（等式性质），
∵CP，BP分别平分∠DCA，∠DBA，
∴∠ABF=∠DBP，∠DCP=∠PCF（角平分线的定义），
∴∠A+∠D=2∠P；
∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）；
（2）由∠A：∠D：∠P=2：4：x，可设∠A=2k，∠D=4k，∠P=xk（k≠0），代入∠D+∠A=2∠P可得：6k=2xk，解得x=3

点评 本题主要考查三角形外角的性质，解题的关键是在复杂图形中观察出外角和内角之间的关系，有一定的难度．