Question

（2008•武汉模拟）如图1，直线y=

3

3

x+（2+

3

）分别交x轴，y轴于点A，C，点B为线段AC中点，连接OB，将△BOC折叠，使点B落在边OC上点F处，折痕为DE，EF∥x轴．

（1）求点E和点F的坐标；
（2）若经过点E，F的抛物线与x轴交于点G，H，且点G坐标为（

3

，0），求该抛物线的解析式；
（3）若点P是（2）中抛物线上（x轴下方）一点（图2），PF交x轴于N，问是否存在使S_△GFN≥

1

3

S_△GFP的点P？若存在，请求出点P横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线解析式求出点A、C的坐标，然后判断出∠ACO=60°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OB=BC，从而得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的每一个角都是60°，∠EOF=60°，设OF=x，然后表示出EF、OE，再根据折叠的性质，BE=EF，然后根据OB的长度列出方程求解即可得到x的值，然后即可求出点E、F的坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把点E、F、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（3）先求出抛物线与x轴的另一交点H的坐标，再根据△GFP分成△GFN与△GNP两部分，因为点F的纵坐标为1，只要是点P的纵坐标的绝对值小于2即可满足，然后求出点P的坐标为-2时的x的值，再结合图形求解即可．

解答：解：（1）当y=0时，

3

3

x+（2+

3

）=0，
解得x=-2

3

-3，
当x=0时，y=2+

3

，
∴点A、C的坐标为A（-2

3

-3，0），C（0，2+

3

），
∴OA=2

3

+3，OC=2+

3

，
∵tan∠ACO=

OA

OC

=

2 3 +3

2+ 3

=

3

，
∴∠ACO=60°，
∴AC=2OC=2（2+

3

），
∵点B为线段AC中点，
∴OB=BC=

1

2

AC=2+

3

，
∴△BOC是等边三角形，∠EOF=60°，
设OF=x，∵EF∥x轴，
∴EF=OF•tan60°=

3

x，
OE=2OF=2x，
∵△BDE沿DE折叠得到△FDE，
∴BE=EF=

3

x，
∴OB=2x+

3

x=2+

3

，
解得x=1，
∴

3

x=

3

，2x=2，
所以，点E、F的坐标分别为E（-

3

，1），F（0，1）；

（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则

3a- 3 b+c=1 c=1 3a+ 3 b+c=0

，
解得

a=- 1 6 b=- 3 6 c=1

，
所以，抛物线解析式为y=-

1

6

x²-

3

6

x+1；

（3）存在．理由如下：
如图，令y=0，则-

1

6

x²-

3

6

x+1=0，
解得x₁=

3

，x₂=-2

3

，
所以，点H的坐标为（-2

3

，0），
∵S_△GFN≥

1

3

S_△GFP，△GFP=△GFN+△GNP，
∴S_△GNP≤2S_△GFN，
∵GN是△GFN与△GNP公共底边，
∴点P到GN的距离小于等于点F到GN的距离即可，
∵点F到GN的距离等于1，
∴点P到x轴的距离小于等于2，
又∵点P在x轴下方，
∴当点P的纵坐标为-2时，-

1

6

x²-

3

6

x+1=-2，
整理得，x²+

3

x-18=0，
解得x₁=2

3

，x₂=-3

3

，
结合图形可得，当-3

3

≤x＜-2

3

或

3

＜x≤2

3

时，S_△GFN≥

1

3

S_△GFP．

点评：本题综合考查了二次函数，主要利用了直线与坐标轴的交点的求解，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，待定系数法求二次函数解析式，（3）把三角形的面积转化成利用点的纵坐标的关系求解是解题的关键．