Question

?ABCD的两条对角线交于O，BE平分∠ABM，AE⊥BE于E．求证：
（1）EO∥BC；
（2）EO=

1

4

?ABCD周长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：证明题

分析：（1）作辅助线构造全等三角形，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）利用三角形的中位线定理及平行四边形的性质定理即可解决问题．

解答：证明：（1）如图，延长AE交CB的延长线于点N；
∵BE平分∠ABM，∴∠ABE=∠NBE；
∵AE⊥BE，∴∠AEB=∠NEB；
在△ABE与△NBE中，
∵

∠AEB=∠NEB EB=EB ∠ABE=∠NBE

，∴△ABE≌△NBE（ASA），
∴AE=NE；
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，
∴EO是△ANC的中位线，EO∥NC，
即EO∥BC．
（2）∵△ABE≌△NBE，∴BN=AB；
又∵EO是△ANC的中位线，∴EO=

1

2

(NB+BC)，
即EO=

1

2

(AB+BC)；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，
∴AB+BC=

1

2

?ABCD周长，故EO=

1

4

?ABCD周长．

点评：该题主要考查了平行四边形的性质及其应用问题；同时还渗透了对三角形中位线定理的考查；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．