Question

如图所示，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（0，1），与x轴的一个交点B的坐标为（2，0），点P在抛物线上，它的横坐标为2n（0＜n＜l），作PC⊥x 轴于C，PC交射线AB于点D。
（1）求抛物线的解析式；
（2）用含n的代数式表示CD、PD的长，并通过计算说明与的大小关系；
（3）若将原题中“0<n<1”的条件改为“n>1”，其他条件不变，请通过计算说明（2）中的结论是否仍然成立。 

Answer 1

解：（1）如图①， ∵抛物线y=ax2 +bx+c的顶点为A（0，1），且经过点（2，0）， ∴y=ax2+1，且4a+1=0， 解得a=-， ∴抛物线的解析式为y=x2+1；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b  ∵A（0，1） B（2，0）   ∴直线AB的解析式为y=-+1 ∵点P的坐标为（2n，1-n2），且点P在第一象限， 又∵PC⊥x轴于C，PC交射线AB于点D ∴xD=OC=2n，yD=-×2n+1=1-n，且点D在第一象限 ∴CD=1-n， PD=yP-yD=（1-n2）-（1-n）=n2-n=n（1-n） ∵0＜n＜1 ∴ ∵ ∴；
（3）当n＞1时，P、D两点在第四象限，且P点在D点的下方（如图）， yD＞yp， 点P的坐标为（2n，1-n2） ∵xD=OC=2n ∴yD=-×2n+1=1-n ∵D点在第四象限 ∴CD=yD=1-n，PD=yP-yD=n（n-1）  ∵n＞1 ∴ ∵ ∴仍然成立。