Question

有人请泰克地毯公司为某新建机场的环形通道铺设地毯．当泰克先生拿到计划蓝图（如图）时，他有些生气：与内圆相切的一条弦的长度是唯一给出的尺寸数据．“这就难了，”泰克想，“两圆之间环形阴影的面积不知道，怎么能估计出大致需要多少地毯呢？最好去找找设计师萨普先生．”萨普先生是个优秀的几何学家，他对此倒是处之泰然：“对我来说，有这一个数据就够了，把这个数据代入公式就能求出圆环的面积．”泰克先生吃了一惊，略一思索，便现出了笑容：“谢谢你，萨普先生，无须劳驾你动用什么公式了，我可以马上得出答案．”你知道泰克先生是怎么算的吗？

Answer 1

分析：设大圆的半径是R，小圆的半径是r，弦长是a，连接OC、OB，根据切线的性质和垂径定理求出∠OCB=90°，BC=AC=

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2

a，
由勾股定理求出R²-r²=

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4

a²，求出圆环的面积=π（R²-r²），代入求出即可．

解答：解：设大圆的半径是R，小圆的半径是r，弦长是a，
连接OC、OB，
∵AB切小圆于C，
则OC⊥AB，
∴∠OCB=90°，BC=AC=

1

2

a，
由勾股定理得：R²-r²=BC²=（

1

2

a）²=

1

4

a²，
∴圆环的面积S=πR²-πr²=π（R²-r²）=

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4

πa²．

点评：本题考查了圆的面积，切线的性质，勾股定理，垂径定理的应用，关键是求出圆环的面积=π（R²-r²）和求出R²-r²=

1

4

a²．