Question

已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E在AB上，DE⊥CE，DE延长线交BC延长线于F．
（1）当E为FD中点时，CD=10，求AB的长；
（2）若AB=8，设CE=x，AD=y，试用x代数式表示y．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）利用全等三角形的判定与性质得出AE=BE，AD=BF，进而利用勾股定理得出AB的长；
（2）利用已知首先得出△ADE∽△BEC，进而求出AD与x的关系即可．

解答：解：（1）如图所示：当E是DF中点时，EF=DE，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠ABF，
在△ADE和△BFE中，

∠A=∠EBF ∠AED=∠BEF DE=EF

，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴AE=BE，AD=BF，
∵DE⊥CE，
∴△DCF是等腰三角形，
∴DC=CF=10，
设AB=AC=2a，则AE=BE=a，AD=10-2a，
在Rt△ADE中：DE²=AD²+AE²=（10-2a）²+a²=5a²-40a+100，
在Rt△DCE中：CE²=CD²-DE²=10²-（5a²-40a+100）=40a-5a²①，
在Rt△BCE中：CE²=BE²+BC²=a²+（2a）²=5a²②，
联立①②得：10a²-40a=0，
解得：a₁=4，a₂=0（不合题意舍去），
故a=4，
则AB=2a=8；

（2）根据题意可得：AB=BC=8，
故BE=

CE2-BC2

=

x2-64

，
∵∠DAE=∠CBE=∠DEC=90°，
∴∠AED+∠ADE=∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC
∴△ADE∽△BEC，
∴

AD

BE

=

AE

BC

=

AB-BE

BC

，
∴AD=y=

BE(AB-BE)

BC

=

x2-64 (8- x2-64 )

8

=

x2-64

-

x2-64

8

=-

1

8

x²+

x2-64

+8（8＜x＜8

2

）．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，得出△ADE∽△BEC是解题关键．