Question

1．如图，在半圆O中，AB为直径，点P是圆上一点，连结AP，过O作OQ∥AP与半圆交于点Q，设△OQB的面积为S₁，△APQ的面积为S₂，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{5}{6}$，则tan∠PQA的值为（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 根据平行线的性质得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠2=∠3，等量代换得到∠1=∠2，得到PQ=BQ，过P作PH⊥AQ于H，根据已知条件设S₁=5k，S₂=6k，得到S_△AQB=10k，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：∵OQ∥AP，
∴∠1=∠3，
OA=OQ，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{PQ}$=$\widehat{BQ}$，
∴PQ=BQ，
过P作PH⊥AQ于H，
∵AB为直径，
∴∠AQB=90°，
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{5}{6}$，
∴设S₁=5k，S₂=6k，
∵OA=OB，
∴S_△AQB=10k，
∴$\frac{1}{2}$AQ•PH=6k，①
$\frac{1}{2}$AQ•BQ=10k，②，
∴①÷②得：$\frac{PH}{BQ}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{PH}{PQ}$=$\frac{3}{5}$，
设PH=3m，PQ=5m，
∴HQ=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{H}^{2}}$=4m，
∴tan∠PQA=$\frac{PH}{HQ}$=$\frac{3}{4}$，
故选C．

点评 本题考查了平行线的性质，解直角三角形，圆周角定理，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．