如图1.直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与x轴交于点A.与y轴交于点B.点C是射线BO上的一个动点.从点B出发以每秒1个单位的速度沿BO方向运动.点D是x轴正半轴上的一点.且OD=2OC.过点C作线段CE⊥AB于点E.连接DE.CD．设点C的运动时间为t．(1)AB=10.EC=$\frac{4}{5}$t,(2)当点C在线段BO上运动.求t为何值时.△DCE是直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如图1，直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是射线BO上的一个动点，从点B出发以每秒1个单位的速度沿BO方向运动，点D是x轴正半轴上的一点，且OD=2OC，过点C作线段CE⊥AB于点E，连接DE、CD．设点C的运动时间为t．
（1）AB=10，EC=$\frac{4}{5}$t（用t的代数式表示）；
（2）当点C在线段BO上运动，求t为何值时，△DCE是直角三角形；
（3）以DE为直径作圆P，交CE于点F，当圆在直线CE上截取的弦EF=$\frac{3}{5}$DE时，则t=$\frac{82}{19}$s（直接写出时间t的值）．

分析（1）首先求出A、B两点坐标，利用相似三角形或三角函数求出EC即可．
（2）分两种情形讨论即可①如图2中，当点D与点A重合时，△DCE是直角三角形．②如图3中，当∠CDE=90°时，△CDE是直角三角形．
（3）如图4中，连接DF，作DH⊥AB于H，则四边形EFDH是矩形．首先证明EH=AH，根据AB=10，列出方程即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，

对于直线直线y=-$\frac{3}{4}$x+6，令x=0得到y=6，令y=0得到x=8，
∴A（8，0），B（0，6）
∴OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵BC=t，sin∠ABO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{EC}{BC}$，
∴$\frac{8}{10}$=$\frac{EC}{t}$，
∴EC=$\frac{4}{5}$t，
故答案为10，$\frac{4}{5}$t．

（2）①如图2中，当点D与点A重合时，△DCE是直角三角形．

∵OC=6-t，OD=2OC=12-2t，
∴12-2t=8，
∴t=2s
②如图3中，当∠CDE=90°时，△CDE是直角三角形．

作EH⊥OA于H．
∵E（$\frac{12}{25}$t，6-$\frac{9}{25}$t），
由△COD∽△DHE得到，$\frac{DH}{EH}$=$\frac{CO}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴EH=2DH，
∴6-$\frac{9}{25}$t=2[$\frac{12}{25}$t-（12-2t）]，
解得t=$\frac{750}{133}$s．
综上所述，t的值为2s或$\frac{750}{133}$s时，△DCE是直角三角形．

（3）如图4中，连接DF，作DH⊥AB于H，则四边形EFDH是矩形．

∵EF=$\frac{3}{5}$DE，
∴sin∠EDF=$\frac{3}{5}$=sin∠BAO，
∴∠EDF=∠DAH，
∵DF∥EH，
∴∠DEH=∠EDF=∠EAD，
∴DE=DA，∵DH⊥AE，
∴EH=AH，
∵BE=$\frac{3}{5}$t，OD=12-2t，
∴AD=8-（12-2t）=2t-4，
∴EH=AH=$\frac{4}{5}$•（2t-4），
∵AB=10，
∴$\frac{3}{5}$t+$\frac{8}{5}$（2t-4）=10，
∴t=$\frac{82}{19}$s，
∴t=$\frac{82}{19}$s时，EF=$\frac{3}{5}$DE．
故答案为$\frac{82}{19}$s．

点评本题考查圆综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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