题目内容
18．如图①，在 Rt△ABC中，AB=4，BC=3，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0＜α＜120°）得△DBE，连接AD，EC，直线AD、EC交于点M．（1）当α=30°时，∠BAD=75°．
（2）在旋转的过程中，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若△ABC中，∠ABC=120°，其余条件不变，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据等腰三角形两底角相等，即可解决问题．
（2）存在．首先证明∠AMC=90°，在Rt△ABC中，根据AB=4，BC=3，可得AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，可得S△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，因为当△ACM的面积最大时，四边形ABCM的面积最大，因为△ACM是直角三角形，AC=5，所以当AM=CM=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$时，△ACM的面积最大，最大值为=$\frac{25}{4}$，由此即可解决问题．
（3）存在．如图②中，作AN⊥BC于N．首先证明∠AMC=60°，在Rt△ABN中，AB=4，∠ABN=60°，推出BN=$\frac{1}{2}$AB=2，AN=2$\sqrt{3}$，在Rt△ACN中，AC=$\sqrt{A{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{37}$，可得S△ABC=$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，因为当△ACM的面积最大时，四边形ABCM的面积最大，因为∠AMC=60°所以当△ACM是等边三角形时，△ACM的面积最大，由此即可解决问题．
解答 解：（1）∵BA=BD，∠ABD=30°，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°．
故答案为75°．
（2）存在．理由如下，
如图①中，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD=∠CBE，
∵BA=BD，BC=BE，
∴∠BAD=∠BDA，∠BCE=∠BEC，
∴∠BCE=∠BAD，
∵∠BCE+∠BCM=180°，
∴∠BCM+∠BAM=180°，
∴∠ABC+∠AMC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠AMC=90°，
在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴当△ACM的面积最大时，四边形ABCM的面积最大，
∵△ACM是直角三角形，AC=5，
∴当AM=CM=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$时，△ACM的面积最大，最大值为=$\frac{25}{4}$，
∴四边形ABCM的面积的最大值为$\frac{49}{4}$．
（3）存在．理由如下，
如图②中，作AN⊥BC于N．
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD=∠CBE，
∵BA=BD，BC=BE，
∴∠BAD=∠BDA，∠BCE=∠BEC，
∴∠BCE=∠BAD，
∵∠BCE+∠BCM=180°，
∴∠BCM+∠BAM=180°，
∴∠ABC+∠AMC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠AMC=60°，
在Rt△ABN中，∵AB=4，∠ABN=60°，
∴BN=$\frac{1}{2}$AB=2，AN=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ACN中，AC=$\sqrt{A{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{37}$
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴当△ACM的面积最大时，四边形ABCM的面积最大，
∵∠AMC=60°
∴当△ACM是等边三角形时，△ACM的面积最大，最大值为=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•AC2=$\frac{37\sqrt{3}}{4}$，
∴四边形ABCM的面积的最大值为$\frac{49\sqrt{3}}{4}$．
点评 本题考查三角形综合题、四边形内角和定理、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明∠AMC是特殊角，学会用转化的思想思考问题，把求四边形面积最大问题，转化为求三角形面积最大问题，属于中考压轴题．
如图，AB是⊙O的直径，∠ADC的度数是35°，则∠BOC的度数是（ ）| A． | 120° | B． | 110° | C． | 100° | D． | 70° |
将如图所示的平面图折叠成正方体后，若相对面上的两个数之和为6，则x+y=4．