Question

12．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB′C′D′的位置，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． 1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． 1-$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 设D′C′与BC的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AD′E和Rt△ABE全等，根据全等三角形对应角相等∠BAE=∠D′AE，再根据旋转角求出∠BAD′=60°，然后求出∠BAE=30°，再解直角三角形求出BE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积-四边形ABED′的面积，列式计算即可得解．

解答 解：如图，D′C′与BC的交点为E，连接AE，
在Rt△AD′E和Rt△ABE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD′}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AD′E≌Rt△ABE（HL），
∴∠BAE=∠D′AE，
∵旋转角为30°，
∴∠BAD′=60°，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴BE=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴阴影部分的面积=1×1-2×（$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．