Question

15．如图，A、B分别为反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0），y=$\frac{8}{x}$（x＞0）图象上的点，且OA⊥OB，则sin∠ABO的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{5}$

Answer 1

分析 直接利用反比例函数的性质结合相似三角形的判定与性质进而得出$\frac{AO}{BO}$的值，进而表示出AO，BO，AB的长，进而得出答案．

解答 解：过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作BM⊥x轴于点M，
∵A、B分别为反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0），y=$\frac{8}{x}$（x＞0）图象上的点，
∴S_△ANO=$\frac{1}{2}$×2=1，
S_△BOM=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴$\frac{{S}_{△ANO}}{{S}_{△BOM}}$=$\frac{1}{4}$，
∵∠AOB=90°，
∴∠AON+∠BOM=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠AON=∠OBM，
又∵∠ANO=∠OMB，
∴△AON∽△OBM，
∴$\frac{AO}{BO}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴设AO=x，则BO=2x，故AB=$\sqrt{5}$x，
故sin∠ABO=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{x}{\sqrt{5}x}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：C．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出AO，BO的关系是解题关键．