Question

已知：∠MAN=30°，O为边AN上一动点，以O为圆心，3为半径作⊙O，交射线AN于点D，设AD=x．
（1）如图1，当x为何值时，⊙O与AM相切？并求出切线长（结果保留根号）
（2）如图2，当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点且∠BOC=90°？

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：

分析：（1）设AM于⊙O相切于点F，根据直角三角形的性质求出OA的长，进而可得出x的值，再根据勾股定理求出AF的长即可；
（2）过点O作OF⊥AM于点F，根据∠BOC=90°，OB=OC可知△OBC是等腰直角三角形，根据勾股定理可得出OF的长，进而得出OA的长，求出x的值即可．

解答：解：（1）设AM于⊙O相切于点F，
∵∠MAN=30°，
OF=3，
∴OA=2OF=6，
∴AD=AO-OD=6-3=3，即x=3；
∵Rt△AOF中，OA=6，OF=3，
∴AF=

OA2-OF2

=

62-32

=3

3

；

（2）过点O作OF⊥AM于点F，
∵∠BOC=90°，OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角，
∴∠OCF=45°，
∴2OF²=OC²，即2OF²=3²，解得OF=

3 2

2

．
∵∠MAN=30°，
∴OA=2OF=3

2

，
∴AD=OA-OD=3

2

-3，即x=3

2

-3．

点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．