Question

6．已知：正方形ABCD，点P为对角线AC上一点．
（1）如图1，Q为CD边上一点，且∠BPQ=90°，求证：PB=PQ；
（2）如图2，若正方形ABCD的边长为2，E为BC中点，求PB+PE的最小值．

Answer 1

分析 （1）连接PD，在正方形ABCD中得到∠DAC=∠BAC，证得△APB≌△APD，得到∠DAC=∠BAC，证得△APB≌△APD，于是得到PD=PB，根据等腰三角形的性质得到∠ABP=∠ADP，由于∠ABC=∠ADC=90°，得到∠PBC=∠PDC，推出∠PBC+∠PQC=180°，由于∠PQD+∠PQC=180°，得到∠PQD=∠PBC，根据等量代换得到结论；
（2）如图2，连接ED交AC于点P，连接BP，则DE的长度即为PB+PE的最小值，同理可证BP=PD，根据勾股定理即可得到结果．

解答 （1）证明：如图1，连接PD，在正方形ABCD中
∴∠DAC=∠BAC，
在△APB和△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠DAC=∠BAC}\\{AP=AP}\end{array}\right.$
∴△APB≌△APD，
∴∠DAC=∠BAC，
在△APB与△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠DAC=∠BAC}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△APD，
∴PD=PB，
∴∠ABP=∠ADP，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠PBC=∠PDC，
∵∠BPQ=∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PQC=180°，
∵∠PQD+∠PQC=180°，
∴∠PQD=∠PBC，
∴∠PDC=∠PQD，
∴PD=PQ，
∴PQ=PB；

（2）如图2，连接ED交AC于点P，连接BP，
则DE的长度即为PB+PE的最小值，
同理可证BP=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE，
∵EC=$\frac{1}{2}$BC=1，∠BCD=90°，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴PB+PE的最小值为$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键．