Question

1．我们知道，一元二次方程ax²+bx+c=0，当b²-4ac≥0，它有两个实数根：x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}}\end{array}$    ①，如2x²-3x-4=0的两根是α、β，由①得$\left\{\begin{array}{l}{α+β=\frac{3}{2}}\\{αβ=-2}\end{array}$，我们可把①称为是一元二次方程的根与系数的关系式．
（1）已知方程x²+$\sqrt{3}$x-1=0的两个不同的根为α、β，则α+β=-$\sqrt{3}$；$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$=$\sqrt{3}$．
（2）已知关于x的方程x²-kx+5（k-5）=0的两个实数根分别是x₁，x₂且满足2x₁+x₂=7，x₁＞0，x₂＞0，则k=6．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系可得出α+β=-$\sqrt{3}$、αβ=-1，将$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$通分代入数据即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系结合2x₁+x₂=7，可得出关于x₁、x₂和k的三元一次方程组，解方程组求出k值，再结合x₁＞0，x₂＞0即可得出5（k-5）＞0，进而即可确定k的值，此题得解．

解答 解：（1）∵方程x²+$\sqrt{3}$x-1=0的两个不同的根为α、β，
∴α+β=-$\sqrt{3}$，αβ=-1，
∴$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$=$\frac{α+β}{αβ}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：-$\sqrt{3}$；$\sqrt{3}$．
（2）∵关于x的方程x²-kx+5（k-5）=0的两个实数根分别是x₁，x₂且满足2x₁+x₂=7，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=k}\\{{x}_{1}{x}_{2}=5（k-5）}\\{2{x}_{1}+{x}_{2}=7}\end{array}\right.$，解得：k₁=2，k₂=6，
∵x₁＞0，x₂＞0，
∴5（k-5）＞0，
∴k=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-$\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$是解题的关键．