Question

3．在△ABC中，AB＞AC．
（1）当AP是∠BAC角平分线时，AP交BC于点P（如图1所示），求证：AB-AC＞BP-CP；
（2）当AP是∠BAC外角平分线时，连接PB和PC（如图2所示），猜想AB+AC与BP+CP的大小关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质得出△APC≌△APD（SAS），再利用三角形三边关系得出答案即可；
（2）利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质得出△APC≌△APE（SAS），再利用三角形三边关系得出答案即可．

解答 （1）证明：如图1，在AB上截取AD=AC，
∵AP是∠BAC角平分线，
∴∠DAP=∠CAP，
在△APC和△APD中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}\\{∠DAP=∠CAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△APD（SAS），
∴PD=PC，
又∵BD=AB-AD=AB-AC，
在△BPD中
BD＞PB-PD，
即AB-AC＞BP-CP；

（2）AB+AC＜BP+CP，
理由：如图2，延长BA，截取AE=AC，
则BE=AB+AE=AB+AC，
在△APC和△APE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAP=∠EAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△APE（SAS），
∴PE=PC，
在△PBE中，BE＜BP+PE，
∴AB+AC＜BP+CP．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形三边关系，根据题意正确作出辅助线是解题关键．