Question

7．如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的判定定理证明；
（2）根据勾股定理求出AB，根据切线长定理得到AF=AE，BD=BF，CD=CE，结合图形列式计算即可．

解答 解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，又∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形；
（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
由切线长定理得，AF=AE，BD=BF，CD=CE，
∴CD+CE=BC+AC-BD-CE=BC+AC-AB=4，
则CE=2，即⊙O的半径为2．

点评 本题考查的是三角形的内切圆和内心的概念和性质、正方形的判定和性质，掌握切线长定理、正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．