题目内容

如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是
 
三角形；
（2）若抛物线的“抛物线三角形”是直角三角形，求b的值；
（3）若抛物线y=-x2-bx与x轴交于原点O和点B，抛物线的顶点坐标为A，△ABO是“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．
（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b＞0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值．
（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．
解答：解：（1）如图；
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．
故答案为：等腰；
（2）
∵“抛物线三角形”是直角三角形，
∴此“物线三角形”是等腰直角三角形，抛物线的顶点坐标为（b，
b2
4
），
把y=0代入得解得x=0或b
根据题意得
b2
4
=
1
2
b
∴b=0或2（0舍去），
∴b=2                        
（3）存在．
当b＜0时，作AH⊥OB于H点，如图，
把y=0代入y=-x2-bx得解得x1=0，x2=-b′，
∴B点坐标为（-b′，0），
∴A点坐标为（
b
2
，
b2
4
）
∵矩形ABCD以原点O为对称中心，
∴OA=OB=OC=OD，
∴△OAB为等边三角形，
∴AH=
b2
4

解得b1′=0，b22
3

∴A点坐标为（-
3
，-3），B点坐标为（-2
3
，0）
∴C点坐标为（
3
，3），D点坐标为（2
3
，0)
设过O、C、D三点的抛物线的解析式为y=ax（x-2
3
），
把C（
3
，3）代入得a=-1，
∴所求抛物线的表达式为y=-x2+2
3
，
同理，当b＞0时，y=-x2-2
3
x．
点评：本题考查了抛物线的综合题：熟练掌握二次函数的性质，并且根据二次函数的性质确定几何图形的性质和确定点的坐标；会运用等腰直角三角形、等边三角形和矩形的性质建立等量关系，将函数问题转化为方程问题．
练习册系列答案
相关题目
计算：
1
12
×2
3
=
 
．
下列各图中，∠1=∠2的图形的个数有（　　）
A、3B、4C、5D、6
当x=-2时，代数式x2+1的值是（　　）
A、3B、-3C、5D、-5
如图，一次函数y=x+
3
2
的图象反比例函数y=
k
x
的图象的一个交点为A（1，m）．
（1）试确定反比例函数的解析式；
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．
如图，过双曲线y=
k
x
在直角坐标系第二象限上点A作直线分别交x轴和双曲线于点C、B，点A的坐标为（-1，6）．
（1）若tan∠ACO=2，试求点C的坐标；
（2）若AB=2BC，连接OA、OB，求△OAB的面积．
已知AM平分∠BAC，AB=AC=10，cos∠BAM=
4
5
．点O为射线AM上的动点，以O为圆心，BO为半径画圆交直线AB于点E（不与点B重合）．
（1）如图（1），当点O为BC与AM的交点时，求BE的长；
（2）以点A为圆心，AO为半径画圆，如果⊙A与⊙O相切，求AO的长；
（3）试就点E在直线AB上相对于A、B两点的位置关系加以讨论，并指出相应的AO的取值范围；
如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在AD上，且AE：ED=1：4，联结BE，射线EF⊥BE交边DC于点F．求CF的长．
（1）已知
1
x+1
+
2
x+2
计算结果是
mx
(x+1)(x-2)
，求常数m的值；
（2）已知
A 
x+3
+
B
x-2
计算结果是
3x+4
(x+3)(x-2)
，求常数A、B的值．

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