Question

1．在△ABC内接于半径为2的⊙O，∠BAC=60°，△ABC的内心为E，当点A在优弧$\widehat{BAC}$上运动时，则点E运动的路径长为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 连接OB、EB、EC，作⊙O关于BC的对称图形⊙O′，连接O′B、O′C，如图，利用三角形内心的性质得到∠BEC=90°+∠A=120°，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，则利用对称性质得∠BO′C=∠BOC=120°，从而可判断点E的运动路径是弦BC所对的$\widehat{BOC}$，然后根据弧长公式计算即可．

解答 解：连接OB、EB、EC，作⊙O关于BC的对称图形⊙O′，连接O′B、O′C，如图，
∵点E为△ABC的内心，
∴∠BEC=90°+∠A=90°+$\frac{1}{2}$×60°=120°，
∵∠BOC=2∠A=120°，
∴∠BO′C=∠BOC=120°，
∴点E的运动路径是弦BC所对的$\widehat{BOC}$，
而O′B=OB=2，
∴点E运动的路径长=$\frac{120•π•2}{180}$=$\frac{4}{3}$π．
故选C．

点评 本题考查了轨迹：通过确定∠BEC的度数判断点E运动的路径是解决问题的关键．也考查了三角形的内心与外心．