Question

1．长方形OABC绕顶点C（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到CO′A′B′位置时，边O′A′交边AB于D，且A′D=2，AD=4．
（1）求BC长；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据旋转的性质以及矩形的性质，求得BC=AO=O′A′，AB=CO=CO'=5，∠B=∠O'=90°，BD=1，再连接CD，设BC=x，根据勾股定理得出BC²+BD²=CD²=CO'²+DO'²，据此列出方程求解即可；
（2）根据阴影部分的面积=△BCD面积+△O'CD面积，进行计算即可．

解答 解：（1）∵长方形OABC绕顶点C（0，5）逆时针方向旋转得到矩形CO′A′B′
∴BC=AO=O′A′，AB=CO=CO'=5，∠B=∠O'=90°，
∵AD=4，AB=5，
∴BD=5-4=1，
设BC=x，则DO'=O'A'-A'D=x-2，
连接CD，则BC²+BD²=CD²=CO'²+DO'²
即x²+1²=5²+（x-2）²
解得：x=7，
∴BC=7；

（2）∵BC=7，BD=1，CO'=5，DO'=7-2=5，∠B=∠O'=90°，
∴阴影部分的面积=△BCD面积+△O'CD面积=$\frac{1}{2}$×7×1+$\frac{1}{2}$×5×5=16．

点评 本题主要考查了旋转的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是连接CD，构造两个直角三角形，根据公共边相等，运用勾股定理列出方程．解题时注意方程思想的灵活运用．