Question

2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6．
（1）实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ABC的角平分线交AC于点D．
②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF．
（2）推理计算：四边形BFDE的面积为8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（作一个角等于已知角和作已知线段的垂直平分线）作出BD和EF；
（2）先证明四边形BEDF为菱形，再利用含30度的直角三角形三边的关系求出BF和CD，然后利用菱形的面积公式求解．

解答 解：（1）如图，DE、DF为所作；

（2）∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，AB=2BC=12，
∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠DBC=∠EBD=30°，
∵EF垂直平分BD，
∴FB=FD，EB=ED，
∴∠FDB=∠DBC=30°，∠EDB=∠EBD=30°，
∴DE∥BF，BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
而FB=FD，
∴四边形BEDF为菱形，
在Rt△ADE中，DE=$\frac{1}{2}$AE，
而AE=AB-BE，
∴12-BE=$\frac{1}{2}$BE，解得BE=8，
在Rt△BDC中，CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴四边形BFDE的面积=$\frac{1}{2}$×8×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．
故答案为8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．