Question

9．如图，△ABD，△BCE均为等边三角形，A，B，C三点在同一直线上，点F在AB上，且∠DFE=60°，以下结论：①DF=EF；②AF=BC；③$\frac{FB}{BC}$=$\frac{BE}{DF}$；④DF²=DB•DG，正确的有（填序号）①②④．

Answer 1

分析 可证明△ADF≌△BDE≌△CFE，得出DF=EF=DE，AF=BC=BE；证明△DFG∽△DBF，得到DF²=DB•DG，可知①②④正确．

解答 解：∵△ABD、△BCE均为等边三角形，
∴AB=BD=AD，BC=CE=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠DBE=∠DFE=60°，
∴B、E、D、F四点共圆，
∴∠BDE=∠CFE，
又∵∠CFE+∠AFD=180°-60°=120°=∠ABF+∠AFD，
∴∠BDE=∠CFE=∠ADF，
在△ADF和△BDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\\{∠DAF=∠DBE}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△BDE
∴AF=BE=BC=CE，
∴AD=AB=FC，
在△ADF和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CF}\\{∠A=∠C}\\{AF=CE}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△CFE，
∴DF=EF=DE，AF=BC=BE；
故①②都正确；
∵∠DFE=∠DBF=60°，∠BDF=∠BDF，
∴△DFG∽△DBF，
∴DF²=DB•DG，
故④正确；
故答案为：①②④．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定与性质、相似三角形的判定与性质，发现图形中的全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．