Question

8．如图，在正方形ABCD内，以A为顶点作∠EAF=45°．设这个角的两边分别交正方形的边BC、CD于E、F，自E、F分别作正方形AC的垂线，垂足为P、Q．求证：过B、P、Q所作的圆的圆心在BC上．

Answer 1

分析 如图，作△BPQ的外接圆⊙O交BC于点H，连接PH．只要证明△BAP∽△QAB，得∠ABP=∠AQB，由∠ABP+∠PBH=90°，∠PHB=∠PQB=∠ABP，推出∠PBH+∠PHB=90°，推出BC是直径，即可解决问题．

解答 证明：如图，作△BPQ的外接圆⊙O交BC于点H，连接PH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，∠BAC=45°=∠1+∠2，
∵∠EAF=45°=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
∵FQ⊥AC，
∴∠AQF=∠B=90°，
∴△ABE∽△AQF，
∴$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{AE}{AF}$，
同理可得：△AEP∽△AFD，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AP}{AD}$，
∴$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{AP}{AD}$，
∴$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵∠BAP=∠QAB
∴△BAP∽△QAB，
∴∠ABP=∠AQB，
∵∠ABP+∠PBH=90°，∠PHB=∠PQB=∠ABP，
∴∠PBH+∠PHB=90°，
∴∠BPH=90°，
∴BH是⊙O的直径，
∴过B、P、Q所作的圆的圆心在BC上．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是灵活应用相似三角形的判定，学会添加辅助线的方法，学会证明线段是圆的直径的方法，题目比较难，属于中考压轴题．