题目内容
如图已知矩形ABCD沿着BD折叠，使点C落在C?处，BC?交AD于点E，AD=8，AB=4．（1）求证：BE=DE；
（2）求AE的长；
（3）若过点E作EF⊥BD于F，求EF的长．
分析：（1）根据矩形的性质可知：∠ADB=∠CBD，再由折叠知∠CBD=∠EBD，即可得到∠EBD=∠EDB，证明出BE=DE；
（2）设AE=EC′=x，则DE=8-x，利用勾股定理求出x的值，即可求出AE的长；
（3）由△BFE∽△BC′D，列出比例关系即可求出EF的长．
（2）设AE=EC′=x，则DE=8-x，利用勾股定理求出x的值，即可求出AE的长；
（3）由△BFE∽△BC′D，列出比例关系即可求出EF的长．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADB=∠CBD，
又∵∠CBD=∠EBD，
∴∠EBD=∠EDB；
（2）解：设AE=EC′=x，则DE=8-x，
在Rt△DC′E中，C′E2+C′D2=DE2，即x2+42=（8-x）2，
解得x=3，即AE的长为3；
（3）解：∵EF⊥BD，
∴∠EFB=90°=∠C′，
又∵∠EBF=∠DBC′，
∴Rt△BFE∽Rt△BC′D，
∴
=
，
即
=
，
解得EF=
，
∴EF的长为
．
∴∠ADB=∠CBD，
又∵∠CBD=∠EBD，
∴∠EBD=∠EDB；
（2）解：设AE=EC′=x，则DE=8-x，
在Rt△DC′E中，C′E2+C′D2=DE2，即x2+42=（8-x）2，
解得x=3，即AE的长为3；
（3）解：∵EF⊥BD，
∴∠EFB=90°=∠C′，
又∵∠EBF=∠DBC′，
∴Rt△BFE∽Rt△BC′D，
∴
| EF |
| C′D |
| BE |
| BD |
即
| EF |
| 4 |
| 5 | ||
4
|
解得EF=
| 5 |
∴EF的长为
| 5 |
点评：本题主要考查翻折变换的知识点，解答本题的关键是掌握矩形的性质、相似的三角形的性质以及翻折变换的知识，此题难度一般．
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