Question

如图，已知反比例函数y=

k

x

的图象经过A（-

3

，b），过点A作AB⊥x轴于点B．△AOB的面积为

3

．
（1）求k和b的值．
（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴交于点M，求：AO：AM．
（3）以AM为一边作正△AMP，求P点的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）根据△AOB的面积得

1

2

•

3

•b=

3

，解得b=2，然后把A（-

3

，2）代入y=

k

x

即可求出k；
（2）把A（-

3

，2）代入y=ax+1中求出a，再确定M点坐标为（

3

，0），然后利用勾股定理计算出OA=

7

，AM=4，则OA：AM=

7

：4；
（3）在Rt△ABM中，AM=4，AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠AMB=30°，∠BAM=60°，再利用等边三角形的性质得∠AMP=60°，PM=AM=4，所以∠OMP=90°，则P点坐标为（

3

，4）；延长AB到P′P，使AP′=AM=4，可判断△AMP′为等边三角形，于是得到P′点坐标为（-

3

，-2），所以P点的坐标为（

3

，4）、（-

3

，-2）．

解答：解：（1）∵A（-

3

，b），△AOB的面积为

3

，
∴

1

2

•

3

•b=

3

，
∴b=2，
把A（-

3

，2）代入y=

k

x

，
∴k=-

3

×2=-2

3

；
（2）把A（-

3

，2）代入y=ax+1得-

3

a+1=2，解得a=-

3

3

，
∴y=-

3

3

x+1，
∴M点坐标为（

3

，0），
在Rt△AOB中，OA=

AB2+OB2

=

22+( 3 )2

=

7

，
在Rt△ABM中，AM=

AB2+BM2

=

22+(2 3 )2

=4，
∴OA：AM=

7

：4；
（3）在Rt△ABM中，AM=4，AB=2，
∴∠AMB=30°，∠BAM=60°，
∵△PAM为等边三角形，
∴∠AMP=60°，PM=AM=4，
∴∠OMP=90°，
∴P点坐标为（

3

，4）；
延长AB到P′P，使AP′=AM=4，则△AMP′为等边三角形，
∵BP′=4-2=2，
∴P′点坐标为（-

3

，-2），
∴P点的坐标为（

3

，4）、（-

3

，-2）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了等边三角形的判定与性质．