Question

如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上运动，且形状和大小保持不变，其中AB=4，BC=3．
（1）当∠OAB=45°时，OA的长为

2

2

；
（2）连接AC，当AC∥ON时，求OA的长；
（3）设AB边的中点为E，分别求出OA、OB、OC、OD、OE在运动过程中的长度变化范围．

Answer 1

分析：（1）先判定△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的

2

2

列式进行计算即可得解；
（2）利用勾股定理列式求出AC的长，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBA=∠BAC，然后求出△OAB和△BCA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到OA的值；
（3）根据BC的长确定出OA、OB的取值范围，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长；根据中点定义求出AE，然后利用勾股定理求出DE，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求出OC、OD的取值范围即可．

解答：解：（1）∵∠MON=90°，∠OAB=45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=

2

2

AB=

2

2

×4=2

2

；
故答案为：2

2

；

（2）如图，连接AC，在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

42+32

=5，
∵AC∥ON，
∴∠OBA=∠BAC，
又∵∠MON=∠ABC=90°，
∴△OAB∽△BCA，
∴

OA

BC

=

AB

AC

，
即

OA

3

=

4

5

，
∴OA=

12

5

；

（3）∵AB=4，
∴0≤OA≤4，
0≤OB≤4，
∵E是AB的中点，
∴OE=AE=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
根据勾股定理，DE=

AE2+AD2

=

22+32

=

13

，
∵OE+DE≥OD，
∴OD≤2+

13

，
∴3≤OD≤2+

13

，
同理：3≤OC≤2+

13

．

点评：本题是相似形综合题型，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，矩形的性质，综合性较强，但难度不大，（3）利用三角形三边关系判断范围是解题的关键．