Question

20．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，∠P=∠B．
（1）求∠P的度数；
（2）连接PB，若⊙O的半径为a，写出求△PBC面积的思路．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质求出∠PAB=90°，求出∠P=∠B=∠OCB，即可得出答案；
（2）解直角三角形求出AP，根据三角形面积公式求出即可．

解答 解：（1）∵PA切⊙O于点A，
∴PA⊥AB，
∴∠P+∠POA=90°．
∵∠POA=∠B+∠OCB，
∴∠P+∠B+∠OCB=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB．
又∵∠P=∠B，
∴∠P=∠B=∠OCB．
∴∠P=30°；

（2）
∵在Rt△PAO中，∠APO=30°，OA=a，
∴PA=$\sqrt{3}AO=\sqrt{3}a$，
∴△PBC面积是$\frac{1}{2}$PA×AB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$a×（a+a）=$\sqrt{3}$a²．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识点，能求出∠APO的度数是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．