Question

12．如图，直线AB分别交反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象于A、B两点，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴、y轴相交于点F、E，已知点B的坐标为（1，3）．
（1）若点A到y轴的距离为2，说明：△PCD与△PBA相似；
（2）若点A为第三象限内任一点，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（3）说明：AE=BF．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入双曲线解析式，求出直线AB、CD解析式，即可判断AB∥CD，即可解决问题．
（2））结论AB∥CD．设点A（c，$\frac{3}{c}$），则点D（0，$\frac{3}{c}$），然后利用待定系数法求出直线AB、CD的解析式，即可判断AB、CD平行．
（3）利用平行四边形的性质证明EB=CD，AF=CD即可，

解答 （1）证明：∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象经过点B（1，3），
∴k=3，
∵反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$，
∵点A到y轴的距离为2，
∴点A横坐标为-2，
∴点A纵坐标为-$\frac{3}{2}$，
∴点A坐标（-2，-$\frac{3}{2}$），
∴点D（0，-$\frac{3}{2}$），C（1，0），
设直线AB解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=3}\\{-2k+b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
设直线CD解析式为y=ex+f，则$\left\{\begin{array}{l}{f=-\frac{3}{2}}\\{e+f=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{3}{2}}\\{f=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
∵AB、CD的解析式k都等于$\frac{3}{2}$，
∴AB∥CD，
∴△PCD∽△PBA．

（2）结论AB∥CD．
理由：设点A（c，$\frac{3}{c}$），则点D（0，$\frac{3}{c}$），
设直线AB解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{ck+b=\frac{3}{c}}\\{k+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{c}}\\{b=3+\frac{3}{c}}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{3}{c}$x+3+$\frac{3}{c}$，
设直线CD解析式为y=ex+f，则$\left\{\begin{array}{l}{e+f=0}\\{f=\frac{3}{c}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{e=-\frac{3}{c}}\\{f=\frac{3}{c}}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=-$\frac{3}{c}$x+$\frac{3}{c}$，
∵AB、CD的解析式k都等于-$\frac{3}{c}$，
∴AB∥CD，

（3）∵CD∥EB，DE∥BC，
∴四边形CDEB是平行四边形，
∴CD=EB，
∵CD∥AF，AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CD=AF，
∴AF=EB，
∴AE=BF．

点评 本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，三角形的面积的求解，待定系数法是求函数解析式最常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用，属于中考常考题型．