Question

20．探索：小明在研究数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠C的数量关系．

发现：在图1中，：∠APC=∠A+∠C；如图5
　小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）应用：①在图2中，∠P与∠A、∠C的数量关系为∠APC+∠A+∠C=360°；
②在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为40°；
（3）拓展：在图4中，探究∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C，即可得出答案；
（2）①过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠APQ+∠A=180°，∠CPQ+∠C=180°，即可得出答案；
②根据平行线的性质得出∠PEB=∠C=70°，根据三角形外角性质得出即可；
（3）根据平行线的性质得出∠APG+∠A=180°，求出∠APG=180°-∠A，根据PG∥CD得出∠CPG+∠C=180°，即可得出答案．

解答 （1）证明：过点P作PQ∥AB，
所以∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；

（2）①
解：过点P作PQ∥AB，
所以∠APQ+∠A=180°，
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ+∠C=180°，
∴∠APQ+∠CPQ，+∠A+∠C=360°，
即∠APC+∠A+∠C=360°，
故答案为：∠APC+∠A+∠C=360°；

②
解：∵AB∥CD，∠C=70°，
∴∠PEB=∠C=70°，
∵∠A=30°，
∴∠P=∠PEB-∠A=40°，
故答案为：40°；



 （3）解：
∠APC=∠A-∠C．
理由是：如图4，过点P作PG∥AB，
∵PG∥AB，
∴∠APG+∠A=180°，
∴∠APG=180°-∠A
∵PG∥AB，AB∥CD，
∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPG+∠C=180°，
∴∠CPG=180°-∠C，
∴∠APC=∠CPG-∠APG=∠A-∠C．

点评 本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．