Question

17．已知：$\root{3}{a+1}$和$\root{3}{a-5}$互为相反数，
（1）求a的值；
（2）用计算器计算下列各式的值（结果保留小数点后三位）：$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a-1}$，$\frac{\sqrt{（a+1）^{2}-1}}{a}$，$\frac{\sqrt{（a+2）^{2}-1}}{a+1}$，$\frac{\sqrt{（a+3）^{2}-1}}{a+2}$，$\frac{\sqrt{（a+4）^{2}-1}}{a+3}$…，你发现有何规律？
（3）根据你发现的规律，判断A=$\frac{\sqrt{（a+2013）^{2}-1}}{a+2012}$与B=$\frac{\sqrt{（a+2014）^{2}-1}}{a+2013}$的大小关系．

Answer 1

分析 （1）根据两式互为相反数及立方根定义列出方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）根据计算观察，可发现分式的值随分母的增加而减小；
（3）根据规律，可得答案．

解答 解：（1）由题意，得
a+1+a-5=0，
解得a=2；
（2）计算$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a-1}$=$\sqrt{3}$≈1.732，$\frac{\sqrt{（a+1）^{2}-1}}{a}$=$\sqrt{2}$≈1.414，$\frac{\sqrt{（a+2）^{2}-1}}{a+1}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$≈1.291，$\frac{\sqrt{（a+3）^{2}-1}}{a+2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$≈1.225，$\frac{\sqrt{（a+4）^{2}-1}}{a+3}$=$\frac{\sqrt{35}}{5}$≈1.183，
比较1.732＞1.414＞1.291＞1.225＞1.183，
结论：分式的值随分母的增加而减小；
（3）由分式的值随分母的增加而减小，得
$\frac{\sqrt{（a+2013）^{2}-1}}{a+2012}$＞$\frac{\sqrt{（a+2014）^{2}-1}}{a+2013}$，
即A＞B．

点评 本题考查了实数的大小比较，计算发现规律分式的值随分母的增加而减小是解题关键．