Question

5．如图，⊙O的半径为3，Rt△ABC的顶点A、B在⊙O上，∠B=90°，BA=BC，当点A在⊙O上运动时，OC的最小值是（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$-3
• B． $\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 连接AO，当OC⊥OA时，OC最短，由∠B=90°，得到BC延长线与AO的延长线交于D，点D会在圆上，得到AC=CD，解直角三角形得到CD=AC=$\sqrt{2}$CB，AB=
BC，根据勾股定理即可得到结论

解答 解：连接AO，当OC⊥OA时，OC最短，
∵∠B=90°，
∴BC延长线与AO的延长线交于D，点D会在圆上，
∵OC⊥AD，OA=OD，
∴AC=CD，
∵∠CAB=45°，
∴CD=AC=$\sqrt{2}$CB=$\sqrt{2}$AB=BC，
∵AD²=BD²+AB²=[（1+$\sqrt{2}$）BC]²+BC²=36，
∴BC²=18-9$\sqrt{2}$，
∴AC²=36-18$\sqrt{2}$，
∵AO=3，
∴OC=3$\sqrt{2}$-3．
故选A．

点评 本题考查了圆周角定理，垂线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．