Question

如图所示，在△ABF中，已知BC=CE=EF，∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°，求

AF

AC

的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：延长AC到M，使MC=AC；延长AE到N，使NE=AE；连接ME、NF，延长AD交ME于点P，利用“边角边”证明△ABC和△MEC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EMC=∠BAC=45°，再根据∠CAD=45°推出∠APM=90°，然后得到AE=AM，同理可以证明△ACE和△NFE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=NF，∠N=∠CAE=90°，然后利用勾股定理列式求出AF、AC的关系，整理即可得解．

解答：解：延长AC到M，使MC=AC；延长AE到N，使NE=AE，连接ME、NF，延长AD交ME于点P，
在△ABC和△MEC中，

AC=MC ∠ACB=∠MCE BC=EC

，
∴△ABC≌△MEC（SAS），
∴∠BAC=∠EMC=45°，
又∵∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°，
∴∠APM=90°，
∴AE=AM=2AC，
同理△ACE≌△NFE，
∴AC=NF，AE=NE=2AC，∠N=∠CAD+∠DAE=90°，
在Rt△ANF中，AF=

NF2+AN2

=

AC2+(4AC)2

=

17

AC，
所以

AF

AC

=

17

．

点评：本题考查了全等三角的判定与性质，三角形的中线，勾股定理，“见中线，加倍延”是此类题目常用的辅助线的作法，所以我们直接将AC、AE加倍延长，构造出全等三角形是解题的关键．