Question

4．已知：如图，在正方形ABCD中，F是AB上一点，延长CB到E，使BE=BF，连接CF并延长交AE于G．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，请判断四边形AFCH是什么特殊四边形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于四边形ABCD是正方形，所以AB=CB=DC，因为AB∥CD，∠CBA=∠ABE，从而得证．
（2）根据旋转的性质可知△ABE≌△ADH，从而可证AF=CH，然后利用AB∥CD 即可知四边形AFCH是平行四边形

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CB=DC，AB∥CD ∠CBA=90°
∴∠ABE=180°-∠ABC=180°-90°=90°
∴∠CBA=∠ABE（等量代换）
在△ABE和△CBF中$\left\{\begin{array}{l}BE=BF\\∠ABE=∠CBF\\ AB=CB\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBF（SAS）    
（2）答：四边形AFCH是平行四边形
理由：∵△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH
∴△ABE≌△ADH
∴BE=DH
又∵BE=BF（已知）
∴BF=DH（等量代换）        
又∵AB=CD（由（1）已证）
∴AB-BF=CD-DH
即AF=CH
又∵AB∥CD 即AF∥CH
∴四边形AFCH是平行四边形

点评 本题考查正方形的性质，本题涉及全等三角形的性质与判定，旋转的性质，平行四边形的判定，解题的关键是证明△ABE≌△CBF与△ABE≌△ADH，本题属于中等题型．