Question

7．如图，在△ABC中，点P是△ABC的外角∠DBC、∠BCE的平分线的交点，若∠BPC=72°，连接AP，则∠BAP=18 度．

Answer 1

分析 由∠BPC=72°，推出∠ECB+∠DBC=2（∠PCB+∠PBC）=216°，推出∠ACB+∠ABC=180°-∠ECB+180°-∠DBC=144°，根据∠BAC=180°-（∠ACB+∠ABC），即可求出∠BAC，再证明，PA平分∠DAE，由此即可解决问题．

解答 解：∵∠BPC=72°，
∴∠PCB+∠PBC=180°-∠BPC=108°，
∵∠ECB=2∠BCP，∠CBD=2∠PBC，
∴∠ECB+∠DBC=2（∠PCB+∠PBC）=216°，
∴∠ACB+∠ABC=180°-∠ECB+180°-∠DBC=144°，
∴∠BAC=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°，
作PM⊥AE于M，PN⊥AD于N，PH⊥BC于H．
∵∠PCM=∠PCB，∠PBD=∠PBC，
∴PM=PH，PH=PN，
∴PM=PN，
∴∠PAB=∠PAE，
∴∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC=18°，
故答案为18．

点评 本题考查三角形的外角平分线、角平分线性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，掌握判定角平分线的方法，属于中考常考题型．