Question

已知抛物线y=x²-4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，以C为直角顶点作等腰Rt△ACP，则P点的坐标为

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：先分别令x=0，y=0，求出抛物线y=x²-4与x轴的两个交点A、B的坐标，与y轴的交点C的坐标，然后由A点的坐标分两种情况进行讨论，结合图形即可求出P点的坐标．

解答：解：∵抛物线y=x²-4与x轴交于A、B两点，
∴令y=0，得：x²-4=0，
解得：x₁=2，x₂=-2，
∴A（2，0），B（-2，0）或A（-2，0），B（2，0）
∵抛物线y=x²-4与y轴交于点C，
∴令x=0，得：y=-4，
∴C（0，-4），
分两种情况：
①当A（2，0），C（0，-4）时，如图（1）
∵以C为直角顶点作等腰Rt△ACP，
∴AC=CP₁，AC=CP₂，
过P₁作P₁D⊥y轴，垂足为D，过P₂作P₂E⊥y轴，垂足为E，
在△AOC和△CDP₁中，

∠P1DC=∠P2EC ∠DCP1=∠OAC AC=CP1

，
∴△AOC≌△CDP₁（AAS），
∴DC=OA=2，DP₁=OC=4，
∴OD=2，
∴P₁（-4，-2），
同理P₂（4，-6），

②当A（-2，0），C（0，-4）时，如图（2）
同①可得P₃（-4，-6），P₄（4，-2）

点评：本题考查了抛物线与坐标轴交点的问题及等腰直角三角形的性质，解题关键是：数形结合由A点的位置进行分类讨论．