Question

今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞C里发现了暗河（如图所示）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着A、B两村庄，山洞C位于A村庄南偏东30°方向，且位于B村庄南偏东60°方向．为方便A、B两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞C处向公路AB紧急修建一条最近的简易公路CD．现已知A、B两村庄相距6千米．
（1）求这条最近的简易公路CD的长（保留3个有效数字）；
（2）每修建1千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用（精确到个位）．
（本题参考数据：

2

≈1.414，

3

≈1.732）

Answer 1

分析：（1）设CD=x．在直角△ACD与直角△BCD中，根据三角函数即可用x表示出AD于BD的长，根据AB=AD-BD，即得到关于x的方程．解方程求解；
（2）修建简易公路的最低费用是16000x元，即为求代数式的值的问题．

解答：解：（1）如图：过C作CD⊥AB于D．（1分）
设CD=x，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=30°，
∵

x

AD

=tan30°，
∴AD=

x

tan30°

．              （2分）
同理：BD=

x

tan60°

．           （3分）
∵AD-BD=6，
∴

x

tan30°

-

x

tan60°

=6．        （4分）
解得：x=3

3

≈5.196≈5.20（千米）．  （6分）

（2）5.196×16000=83136（元）．
答：这条最近的简易公路CD的长是5.20千米，最低费用是83136元．

点评：把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．