Question

1．如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD是锐角．
（1）写出这个四边形的一条性质并证明你的结论．
（2）若BD=BC，证明：$\frac{BD}{AC}=sin∠BCD$．
（3）①若AB=BC=4，AD+DC=6，求$\frac{BD}{AC}$的值．
        ②若BD=CD，AB=6，BC=8，求sin∠BCD的值．

Answer 1

分析 （1）结论：AB²+BC²=AD²+DC²，根据勾股定理即可证明．
（2）如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，只要证明△BED∽△ABC，即可解决问题．
（3）①如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延长线于F．只要证明△DAB≌△CBF，推出DF=AD+CD=6，求出BD、AC即可．
②当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为NM延长BA交MN于点N，则四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，所以$\frac{AM}{BN}$=$\frac{MB}{CN}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{6}{8}$，设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，通过BD=DC，列出方程求出x、y的关系，求出AB，即可解决问题．

解答 解：（1）结论：AB²+BC²=AD²+DC²．
理由：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴AB²+BC²=AC²，BC²+DC²=AC²，
∴AB²+BC²=AD²+DC²．

（2）如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，

∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴四边形ABCD四点共圆，
∴∠BDE=∠ACB，∠EAB=∠BCD，
∵∠BED=∠ABC=90°，
∴△BED∽△ABC，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$=sin∠EAB=sin∠BCD，

（3）①如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延长线于F．

∵∠ABC=∠DBF=90°，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD=180°-∠BCD=∠BCF，
∵∠BCF=∠BAD，BC=BA，
∴△DAB≌△CBF，
∴BD=BF，AD=CF，
∵∠DBF=90°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF，
∵AD+CD=6，
∴CF+CD=DF=6，
∴BD=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{B{A}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$．

②当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为NM延长BA交MN于点N，则四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，

∴$\frac{AM}{BN}$=$\frac{MB}{CN}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{6}{8}$，设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，
在Rt△BDM中，BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=10x，
∵BD=DC，
∴10x=6x+8y，
∴x=2y，
在Rt△DABM中，AB=$\sqrt{（6y）^{2}+（12y）^{2}}$=6$\sqrt{5}$y，
∴sin∠BCD=sin∠MAB=$\frac{BM}{AB}$=$\frac{12y}{6\sqrt{5}y}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．